Daniel Saada saada.daniel@gmail.com table des matières -> accueil préface

Table des matiÈres Définitions, Notations, Prérequis 0.1 - Événements 13 0.2 - Algèbres et tribus d’événements 14 0.3 - Algèbres et tribus engendrées 17 0.4 - Images directes et réciproques 19 0.5 - Probabilités sur une tribu 21 0.6 - Variables aléatoires réelles 25 0.7 - Familles absolument sommables et sommes doubles 27     0.8 - Probabilités discrètes, probabilités diffuses 30 0.9 - Mesures 31 0.10 - Fonctions indicatrices 34 0.11 - Topologie 37 0.12 - L’Hypothèse du continu 44 0.13 - L’Axiome du choix 46 CHAPITRE 1 Probabilités sur les Algèbres 1.1 - Atomes d’une algèbre 53 1.2 - Algèbres de cardinal fini 54 1.3 - Algèbres engendrées par une famille finie de parties   54   1.4 - La formule du crible 56 1.5 – Sommes de fonctions indicatrices 57 1.6 - Description générale d’une algèbre engendrée 59 CHAPITRE 2 Probabilités sur les univers dénombrables 2.1 - Détermination des tribus en univers dénombrable 62 2.2 - Probabilités sur un univers dénombrable 63 2.3 - Une distance qui compactifie P(N)  63 2.4 - L’image d’une probabilité sur N est fermée    66   2.5 - Cardinal de l’image d’une probabilité sur N 67 2.6 - Injectivité, surjectivité d’une probabilité sur N  68 CHAPITRE 3 Le Théorème d’Ulam et ses conséquences 3.1 - Le Théorème d’Ulam 73 3.2 - Nécessité des tribus en univers non dénombrable 75 3.3 - Mesures extérieure et intérieure attachées à une          probabilité   76 3.4 - Les questions que pose le Théorème d’Ulam 78 CHAPITRE 4 Ensembles négligeables et complétion des tribus 4.1 - Ensembles négligeables 79 4.2 - Le Lemme de Borel - Cantelli 81 4.3 - Complétion d’une tribu   83 4.4 - Prolongement d’une probabilité à la tribu complétée    84  4.5 - Deux caractérisations de la tribu complétée 84 4.6 - Prolongement au-delà de la tribu complétée 85 CHAPITRE 5 Le Théorème de prolongement de Carathéodory et la construction des mesures de Borel 5.1 - Premier prolongement d’une probabilité définie          sur une algèbre 90 5.2 - Le Théorème de Carathéodory (1927) 91 5.3 - Une formule d’approximation en mesure pour le         prolongement 94 5.4 - Semi-algèbres 96 5.5 - La mesure de Borel sur [0,1] 98 5.6 - Les mesures de Borel sur les intervalles de R 100 CHAPITRE 6 Tribus et familles monotones 6.1 - Familles monotones 103 6.2 - Le Théorème de la classe monotone 104 6.3 - Unicité du prolongement d’une probabilité 105 6.4 - Un théorème sur l’indépendance 106 CHAPITRE 7 Le Théorème de Zermelo et le transfini 7.1 – Le Théorème de Zermelo (1904) 110 7.2 - Ensembles bien ordonnés de cardinal aleph1    110 7.3 - Les Z-ensembles 112 7.4 - Réunions transfinies croissantes 112 7.5 - Le raisonnement par récurrence transfinie 114 7.6 - Description transfinie de la tribu engendrée         par une algèbre 115 7.7 - Tribu engendrée par une famille quelconque de parties   7.8 - Cardinal des tribus 124 CHAPITRE 8 Les Tribus boréliennes de R^n 8.1 - Définition des tribus boréliennes 128 8.2 - Les tribus boréliennes ont la puissance du continu 128 8.3 - Les tribus boréliennes sont engendrées par les ouverts 8.4 - Description transfinie des tribus boréliennes 130 8.5 - Boréliens et fonctions continues 132 8.6 - Approximations en mesure des boréliens 132 8.7 - Parties boréliennes et ensembles compacts 134 8.8 - Construction de boréliens négligeables non dénombrables CHAPITRE 9 Probabilités sur les boréliens de R 9.1 - Existence de mesures diffuses sur la tribu des boréliens 9.2 - Fonction de répartition d’une probabilité 141 9.3 – Probabilités sur les boréliens de R 142 9.4 - Simulation de variables aléatoires 147 9.5 - Fonction de répartition d’une loi binomiale 149

TRIBUS ET PROBABILITÉS CHAPITRE 10 De Borel à Lebesgue 10.1 - La mesure de Lebesgue sur un intervalle borné 151 10.2 - L’ensemble triadique de Cantor 152 10.3 - Des exemples de non boréliens 154 10.4 – Écriture des mesurables bornés 155 10.5 - La mesure intégrale de Lebesgue sur R 157 10.6 - La tribu L(R) des mesurables 159 CHAPITRE 11 Naissance de l’Intégrale 11.1 - Fonctions étagées sur une algèbre 166 11.2 - Intégrale d’une fonction étagée 169 11.3 - Le Théorème de convergence monotone pour les            fonctions étagées 171 11.4 - Le Théorème de convergence bornée pour les fonctions            étagées 172 11.5 - Premier prolongement de l’intégrale 173 11.6 - Fonctions mesurables sur une tribu 176 11.7 - Fonctions intégrables pour une mesure de probabilité 181 11.8 - Les Théorèmes de convergence monotone ou dominée  185   11.9 - Intégration sur un événement de la tribu 187 CHAPITRE 12 Applications de l’intégrale aux probabilités 12.1 – Espérance d’une variable aléatoire discrète 191 12.2 - Les inégalités de Markov et de Bienaymé -Tchebychev  192    12.3 - Probabilités définies par une intégrale 194 12.4 - Mesures absolument continues devant une autre 196 12.5 - Le Théorème de décomposition de Hahn-Jordan     198 12.6 - Le Théorème de Radon-Nikodym 200 12.7 - Caractérisation des mesures m’ ≤ m 204 12.8 - Le Théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym 205 CHAPITRE 13 Probabilités sur un univers produit 13.1 - Produits de deux univers 207 13.2 - Produit de deux mesures 211 13.3 - Mesures de probabilité sur R^2 214 13.4 - Mesures de probabilité sur R^n 216 13.5 - Linéarité de l’espérance mathématique 217 CHAPITRE 14 Les fonctions boréliennes 14.1 - Définition des fonctions boréliennes 224 14.2 - Le Théorème du transfert 224 14.3 - Espérance d’une variable aléatoire bornée 226 14.4 - Le Théorème d’Egorov 228 14.5 - Continuité des restrictions d’une fonction 230 14.6 – Le Théorème de Lusin 230 14.7 - Exemples de fonctions non boréliennes 232 14.8 - Exemples de non boréliens 235 14.9 - La classification de Baire des fonctions 235 14.10 - Continuité des fonctions de première classe de Baire  239      CHAPITRE 15 Le jeu de pile ou face 15.1 - L’univers du Jeu 243 15.2 - La tribu du Jeu 244 15.3 - La probabilité du Jeu 245 15.4 - La Loi forte des grands nombres 247 15.5 - La correspondance avec les boréliens de [0,1] 249 CHAPITRE 16 Mesures additives sur les parties de N 16.1 - Densité arithmétique d’une partie de N 255 16.2 - Construction de mesures additives sur N 256 16.3 - Aucune probabilité p sur N ne vérifie p(k.N) = 1/k   258 16.4 - Existence de négligeables infinis pour les mesures diffuses  simplement additives   259 CHAPITRE 17 Le Théorème de Zorn et ses applications 17.1 – Chaînes d’un ensemble ordonné 262 17.2 - Le Théorème de Zorn (1935) 263 17.3 – Un Théorème de Banach 266 17.4 – Atomes d’une mesure 268 17.5 - Le Théorème de Liapounov pour une mesure 270 17.6 – L’image d’une tribu est fermée 273 CHAPITRE 18 Convergences d’une suite de probabilités 18.1 - Convergence sur une tribu 279 18.2 - Un Théorème de Lebesgue sur les séries à termes positifs  281 18.3 - Convergence sur un univers dénombrable 282 18.4 - L’inégalité de Le Cam (1960) 283 18.5 - Le Théorème de Nikodym 284 CHAPITRE 19 Convergences des variables aléatoires 19.1 - L’origine de la convergence en probabilité 292 19.2 - La convergence en loi 292 19.3 - La convergence presque sûre 297 19.4 - Convergence de lois de probabilités sur R 298