Daniel Saada saada.daniel@gmail.com               préface -> accueil table des matières

AVANT – PROPOS (extraits)           Cet ouvrage a pour but de présenter aussi clairement que possible les concepts de base sur lesquels repose le calcul probabiliste dès lors que l’on n’évolue plus dans des univers finis ou dénombrables.      Comme on le verra avec le théorème d’Ulam, la Théorie des Probabilités est profondément liée à la Théorie des Ensembles et à ses fondements les plus intimes. Si on ajoute à cela que cette Théorie n’a pu véritablement s’édifier qu’après la mise en place de l’intégrale de Lebesgue, on comprend pourquoi, au rebours de l’Algèbre linéaire qui ne présuppose rien, et de l’Analyse où seul est admis en définitive le caractère complet de l’ensemble des réels, l’enseignement des Probabilités est truffé de théorèmes admis.       Après de longues années d’interrogations puis de réflexions, j’ai résolu  d’expliciter tous ces a priori : bien qu’elle fût rude, je ne regrette pas cette exploration en profondeur, tant il est vrai que la déesse Mathématique sait récompenser ses fidèles serviteurs! C’est cette moisson que j’ai voulu faire partager, à la fois dans le but de transmettre, mais aussi, chaque enseignant le sait, pour comprendre encore mieux moi-même ce que je découvrais (l’altruisme est-il un égoïsme déguisé ?).       Le lecteur ne trouvera pas dans ce livre un Cours de Probabilités : les ouvrages didactiques excellents sont en effet légion, et d’ailleurs aurais-je pu rivaliser avec l’immense et admirable corpus que des générations de chercheurs et d’enseignants ont édifié ?       Mon objectif a été plutôt d’exhumer ce qui, pour des raisons pédagogiques parfaitement légitimes, est caché ou esquivé dans les ouvrages d’enseignement, à savoir les fondements de la Théorie. De ce fait, mon livre s’adresse à un public rompu au raisonnement mathématique, mais aussi à ceux qui veulent en acquérir la maitrise.

TRIBUS ET PROBABILITÉS          Dans la mesure de mes moyens, je me suis efforcé de donner des démonstrations complètes, sans aller toutefois jusqu’à reproduire celles qui, par trop élémentaires, figurent en bonne place dans tous les ouvrages existants.       Le lecteur trouvera dans cet ouvrage beaucoup de résultats fondamentaux, parfois cités mais rarement démontrés pour la raison que j’ai dite, ou bien éparpillés dans des publications d’accès difficile : le théorème de Zorn qui légitime l’emploi du transfini, le théorème d’Ulam qui fonde la nécessité des tribus, le cardinal des tribus boréliennes, la détermination de toutes les probabilités sur la tribu des boréliens de R, le théorème de prolongement de Carathéodory, le théorème de convergence de Nikodym, le théorème de convexité de Liapounov, le théorème de Zermelo, le caractère fermé de l’image d’une tribu. En les rassemblant tous, j’aurai fait œuvre utile.      Le livre est divisé en paragraphes numérotés : chaque paragraphe est censé contenir au moins une idée ou un concept ; les résultats importants figurent dans des cartouches. Autant qu’il était possible, j’ai amené chaque question naturellement, tant il est vrai, comme l’a écrit Henri Poincaré, qu’on résout les questions qu’on se pose et non les questions qui se posent.        Mon but a été d’offrir un ouvrage de référence,  largement autonome et substantiel, mais que j’espère non touffu : au lecteur de juger si j’ai réussi.                                                                                           Daniel Saada